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 伽玛分布（Gamma Distribution）是统计学的一种连续概率函数。Gamma分布中的参数α称为形状参数（shape parameter），β称为尺度参数（scale parameter）。

假设随机变量X为 等到第α件事发生所需之等候时间, 密度函数为

 
特征函数为
 

Gamma的可加性

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当两随机变量服从Gamma分布，且单位时间内频率相同时，Gamma
数学表达式
若随机变量X具有概率密度
其中α>0,β>0,则称随机变量X服从参数α，β的伽马分布，记作G(α,β).

性质：
1、β=n，Γ(n,α)就是Erlang分布。Erlang分布常用于可靠性理论和排队论中 ,如一个复杂系统中从第 1 次故障到恰好再出现 n 次故障所需的时间;从某一艘船到达港口直到恰好有 n 只船到达所需的时间都服从 Erlang分布；
2、当α= 1 , β = 1/λ 时，Γ(1,1/λ) 就是参数为λ的指数分布,记为exp (λ) ；
3、当α =n/2 ，β=1/2时，Γ (n/2,1/2)就是数理统计中常用的χ2( n) 分布。
4、数学期望(均值)、方差分别为
对于Γ(a ,β )，E( X) =a/β，D ( X) =α / (β*β)
5、(Gamma 分布的可加性)：设随机变量 X1 , X2 , …, Xn 相互独立，并且都服从Gamma 分布，即Xi ～Γ(αi , β)，i =1 ,2 , …, n , 则：
X1 + X2 + …+ Xn ～ Γ(α1 +α2 + …+αn ,β )

 
 
 
其实你只要记住了Gamma function
做积分变换，可得，从而

那么Gamma distribution 就很好记了。

并且伽马分布与一大坨分布有着暧昧的关系，比如：
Erlang distribution、Chi-squared distribution、Exponential distribution、Beta distribution、Normal distribution

最后来个分布族谱图：

Gamma分布即为多个独立且相同分布（iid）的指数分布变量的和的分布。
（最新修改，希望能够行文布局更有逻辑）

——————泊松过程——————
指数分布和泊松分布的关系十分密切，是统计学中应用极大的两种分布。
其中泊松过程是一个显著应用。

泊松过程是一个计数过程，通常用于模拟一个（非连续）事件在连续时间中发生的次数。
为一个泊松过程，则其满足三个性质：
①（t=0时什么都没发生）

②（增量）之间互相独立：
扩展补充：与互相独立，且在计数过程中


这是因为

③
即
根据增量独立性，易知其成立。

——————泊松→指数——————
假设为第次事件与第次事件的间隔时间。

所以

所以

即泊松过程的事件间隔时间为指数分布。

——————指数→Gamma—————
再令，即从头开始到第次事件的发生的时间，该随机变量分布即为Gamma分布。
即。
Gamma分布即为多个独立且相同分布（iid）的指数分布变量的和的分布。

——————证明——————
假设且互相独立

①Moment Generating Function（MGF）：
MGF的定义为
则
其性质为

下证：


则
为Gamma分布的MGF。
MGF:Moment-generating function

②数学归纳法：
已知
所以当时成立。
假设时成立
当时，

其中






为的pdf。证毕。

当然，Gamma分布与Beta，Chi-square分布也有着十分紧密的联系，不过在统计学应用中都不如与指数分布的联系来得重要。